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作者：chen_h

当我们要使用神经网络来构建一个多分类模型时，我们一般都会采用 softmax 函数来作为最后的分类函数。softmax 函数对每一个分类结果都会分配一个概率，我们把比较高的那个概率对应的类别作为模型的输出。这就是为什么我们能从模型中推导出具体分类结果。为了训练模型，我们使用 softmax 函数进行反向传播，进行训练。我们最后输出的就是一个 0-1 向量。

在这篇文章中，我们不会去解释什么是 softmax 回归或者什么是 CNN。这篇文章的主要工作是如何在 TensorFlow 上面设计一个 L2 约束的 softmax 函数，我们使用的数据集是 MNIST。完整的理论分析可以查看。

在具体实现之前，我们先来弄清楚一些概念。

softmax 损失函数

softmax 损失函数可以定义如下：

其中各个参数定义如下：

L2 约束的 softmax 损失函数

带约束的损失函数定义几乎和之前的一样，我们的目的还是最小化这个损失函数。

但是，我们需要对 f(x) 函数进行修改。

我们不是直接计算最后层权重与前一层网络输出 f(x) 之间的乘积，而是对前一层的 f(x) 先做一次归一化，然后对这个归一化的值进行 α 倍数的放大，最后我们进行常规的 softmax 函数进行计算。

也就是说，损失函数是受到如下约束：

程序细节

所以，我们的架构看起来是如下图（这也是我想要实现的架构图）：

C 表示卷积层，P 表示池化层，FC 表示全连接层，L2-Norm 层和Scale 层是我们重点要实现的层。

利用 TensorFlow 进行实现

为了实现这个模型，我们使用这个 进行学习。

在应用 dropout 之前，我们先对 N-1 层的输出进行正则化，然后把正则化之后的结果乘以参数 alpha，然后进行 softmax 函数计算。下面是具体的代码展示：

fc1 = alpha * tf.divide(fc1, tf.norm(fc1, ord='euclidean'))

如果我们把 alpha 设置为 0，那么这就是常规的 softmax 函数，否则就是一个 L2 约束。

完整代码如下：

# Actual Code : https://github.com/aymericdamien/TensorFlow-Examples/blob/master/notebooks/3_NeuralNetworks/convolutional_network.ipynb# Modified By: Manashfrom __future__ import division, print_function, absolute_import# Import MNIST datafrom tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_datamnist = input_data.read_data_sets("/tmp/data/", one_hot=False)import tensorflow as tfimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np# Training Parameterslearning_rate = 0.001num_steps = 100batch_size = 20# Network Parametersnum_input = 784 # MNIST data input (img shape: 28*28)num_classes = 10 # MNIST total classes (0-9 digits)dropout = 0.75 # Dropout, probability to keep units# Create the neural networkdef conv_net(x_dict, n_classes, dropout, reuse, is_training, alpha=5):    # Define a scope for reusing the variables    with tf.variable_scope('ConvNet', reuse=reuse):        # TF Estimator input is a dict, in case of multiple inputs        x = x_dict['images']        # MNIST data input is a 1-D vector of 784 features (28*28 pixels)        # Reshape to match picture format [Height x Width x Channel]        # Tensor input become 4-D: [Batch Size, Height, Width, Channel]        x = tf.reshape(x, shape=[-1, 28, 28, 1])        # Convolution Layer with 32 filters and a kernel size of 5        conv1 = tf.layers.conv2d(x, 32, 5, activation=tf.nn.relu)        # Max Pooling (down-sampling) with strides of 2 and kernel size of 2        conv1 = tf.layers.max_pooling2d(conv1, 2, 2)        # Convolution Layer with 32 filters and a kernel size of 5        conv2 = tf.layers.conv2d(conv1, 64, 3, activation=tf.nn.relu)        # Max Pooling (down-sampling) with strides of 2 and kernel size of 2        conv2 = tf.layers.max_pooling2d(conv2, 2, 2)        # Flatten the data to a 1-D vector for the fully connected layer        fc1 = tf.contrib.layers.flatten(conv2)        # Fully connected layer (in tf contrib folder for now)        fc1 = tf.layers.dense(fc1, 1024)        # If alpha is not zero then perform the l2-Normalization then scaling up        if alpha != 0:            fc1 = alpha * tf.divide(fc1, tf.norm(fc1, ord='euclidean'))        # Apply Dropout (if is_training is False, dropout is not applied)        fc1 = tf.layers.dropout(fc1, rate=dropout, training=is_training)        # Output layer, class prediction        out = tf.layers.dense(fc1, n_classes)    return out# Define the model function (following TF Estimator Template)def model_fn(features, labels, mode):    # Set alpha    alph = 50    # Build the neural network    # Because Dropout have different behavior at training and prediction time, we    # need to create 2 distinct computation graphs that still share the same weights.    logits_train = conv_net(features, num_classes, dropout, reuse=False, is_training=True, alpha=alph)    # At test time we don't need to normalize or scale, it's redundant as per paper : https://arxiv.org/abs/1703.09507    logits_test = conv_net(features, num_classes, dropout, reuse=True, is_training=False, alpha=0)    # Predictions    pred_classes = tf.argmax(logits_test, axis=1)    pred_probas = tf.nn.softmax(logits_test)    # If prediction mode, early return    if mode == tf.estimator.ModeKeys.PREDICT:        return tf.estimator.EstimatorSpec(mode, predictions=pred_classes)     # Define loss and optimizer    loss_op = tf.reduce_mean(tf.nn.sparse_softmax_cross_entropy_with_logits(        logits=logits_train, labels=tf.cast(labels, dtype=tf.int32)))    optimizer = tf.train.AdamOptimizer(learning_rate=learning_rate)    train_op = optimizer.minimize(loss_op, global_step=tf.train.get_global_step())    # Evaluate the accuracy of the model    acc_op = tf.metrics.accuracy(labels=labels, predictions=pred_classes)    # TF Estimators requires to return a EstimatorSpec, that specify    # the different ops for training, evaluating, ...    estim_specs = tf.estimator.EstimatorSpec(      mode=mode,      predictions=pred_classes,      loss=loss_op,      train_op=train_op,      eval_metric_ops={
  'accuracy': acc_op})    return estim_specs# Build the Estimatormodel = tf.estimator.Estimator(model_fn)# Define the input function for traininginput_fn = tf.estimator.inputs.numpy_input_fn(    x={
  'images': mnist.train.images}, y=mnist.train.labels,    batch_size=batch_size, num_epochs=None, shuffle=False)# Train the Modelmodel.train(input_fn, steps=num_steps)# Evaluate the Model# Define the input function for evaluatinginput_fn = tf.estimator.inputs.numpy_input_fn(    x={
  'images': mnist.test.images}, y=mnist.test.labels,    batch_size=batch_size, shuffle=False)# Use the Estimator 'evaluate' methodmodel.evaluate(input_fn)# Predict single imagesn_images = 4# Get images from test settest_images = mnist.test.images[:n_images]# Prepare the input datainput_fn = tf.estimator.inputs.numpy_input_fn(    x={
  'images': test_images}, shuffle=False)# Use the model to predict the images classpreds = list(model.predict(input_fn))# Displayfor i in range(n_images):    plt.imshow(np.reshape(test_images[i], [28, 28]), cmap='gray')    plt.show()    print("Model prediction:", preds[i])

性能评估

这个真的能提高性能吗？是的，而且效果非常好，它能提高大约 1% 的性能。我没有计算很多的迭代，主要是我没有很好的电脑。如果你对这个性能有你疑惑，你可以自己试试看。

以下是不同 alpha 值对应的模型性能：

橘黄色的线表示用常规的 softmax 函数，蓝色的线是用 L2 约束的 softmax 函数。

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作者：chen_h

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